Sekali Lagi tentang Teori Chaos

Oleh Johan Matheus Tuwankotta (Departemen Matematika ITB)

DI rubrik Inspirasi, Kompas, Sabtu (10/5), Dr Kebamoto menyajikan tulisan yang sangat menarik tentang teori chaos. Inul dipilih sebagai media yang cantik untuk menyajikan suatu konsep chaos yang tak kalah cantiknya. Tulisan itu telah menggoda untuk menyumbang pendapat dalam topik yang luar biasa menarik ini. Namun, kini yang dibahas adalah kandungan ilmiah dari chaos itu sendiri.

TEORI chaos menarik perhatian para ilmuwan dunia di tahun 1960-an. Salah satu paper ilmiah yang menandai "kelahiran" topik ini adalah karya dari Edward Lorenz. Meskipun demikian, nama-nama seperti B van der Pol, Duffing, dan M He'non tidak dapat dilupakan dalam proses kelahiran topik ini.

Chaos pertama kali terobservasi dalam sebuah sistem yang dikenal dengan nama sistem dinamis. Tidaklah berlebihan jika kelahiran sistem dinamis dikaitkan dengan seorang matematikawan Perancis, Henri Poincare' pada masa pergantian dari abad ke-19 ke abad ke-20.

Pada era itu, perhatian matematikawan terpusat pada pencarian solusi dari suatu sistem. Henri Poincare' adalah yang pertama kali membangun suatu metode untuk menganalisis sistem tanpa menghitung solusi secara eksplisit dan melahirkan teori modern tentang persamaan diferensial. Dari tulisan Henri Poincare', dapat disimpulkan bahwa Poincare' telah mengenal chaos.

Pada permulaan abad ke-20, yaitu masa hidup B van der Pol, Duffing, maupun E Lorenz, trend yang berkembang adalah keyakinan bahwa sebuah sistem dapat "berperilaku" sangat liar, namun suatu saat akhirnya sistem akan kembali pada kondisi kesetimbangan. Ini bertentangan sama sekali dengan chaos yang telah dilihat oleh ketiga orang tersebut. Bukan tidak mungkin ada list yang lebih panjang lagi berisi nama-nama orang yang telah melihat fenomena chaos di sistem yang mereka miliki, namun tidak berani memublikasikannya.

Edward Lorenz sendiri mendapat reaksi negatif dari rekannya ketika ia dengan penuh semangat menjelaskan fenomena itu, "Ed, alam di mana kita hidup tidak berperilaku seperti yang kau deskripsikan!" Kata seorang profesor Fisika kepada E Lorenz.

Ada seorang matematikawan bernama Stephen Smale yang sebenarnya kontra terhadap teori chaos. Tetapi ketika ia membaca paper E Lorenz, ia mulai berpikir tentang kemungkinan selain teorinya sendiri. Akhirnya, ia menciptakan Pemetaan Sepatu Kuda (Horse-shoe map) yang sampai saat ini merupakan bentuk paling sederhana dari sistem yang memuat skenario menuju chaos.

Chaos dan fraktal

Fraktal bukan chaos. Fraktal adalah suatu struktur yang memiliki substruktur yang masing-masing substruktur memiliki substruktur lagi dan seterusnya. Setiap substruktur adalah replika kecil dari struktur besar yang memuatnya.

Contoh yang paling sederhana dari fraktal adalah jika kita memegang cermin di hadapan sebuah cermin. Di dalam cermin yang dipegang ada bayangan orang yang memegang cermin. Di dalam cermin yang ada di bayangan, ada bayangan si pemegang cermin itu lagi, dan seterusnya.

Sebuah chaotic attractor terkadang juga memiliki struktur fraktal seperti itu. Keunikan dari benda-benda yang memiliki struktur fraktal adalah dimensinya. Secara umum, solusi dari sebuah sistem dinamis adalah sebuah obyek matematis yang berdimensi satu (mempunyai ukuran yang sama dengan garis).

Jika solusi itu merupakan solusi yang chaotic, ia mempunyai dimensi fraktal berupa pecahan. Misalnya, berdimensi 2,3 yang berarti benda itu lebih tebal daripada bidang (yang berdimensi 2), tetapi masih lebih kecil daripada ruang (yang berdimensi 3).

Chaos dan bifurkasi

Hampir semua sistem dinamis yang terkait dengan alam ini memuat satu atau lebih parameter di dalam sistem itu. Contohnya adalah jika kita bekerja dengan hukum Newton, maka ada konstanta gravitasi yang besarnya tetap, tetapi tidak kita ketahui nilai eksaknya.

Pertanyaannya, jika ada suatu sistem yang bergantung pada parameter tertentu yang tidak diketahui besarnya, apakah dinamika dari sistem itu terpengaruh oleh perubahan nilai parameternya? Dapatkah suatu kondisi stabil berubah menjadi tidak stabil jika nilai parameternya berubah?

Bayangkanlah sistem tata surya. Ada perputaran benda-benda langit pada orbitnya masing-masing. Ada banyak sekali parameter yang terlibat dalam sistem yang mendeskripsikan sistem tata surya. Pertanyaannya adalah apakah sistem itu cukup stabil (dalam artian tidak terlalu sensitif) terhadap perubahan nilai parameternya?

Jika tidak, ketika manusia mengirimkan satelit, bisa menjadi gangguan yang terlampau besar dan memaksa sistem tata surya bergerak menuju kondisi stabil yang baru. Dapat terjadi orbit Bumi pindah ke orbit lain yang lebih besar dan berakibat turunnya suhu Bumi dan kematian besar. Inilah pertanyaan yang berusaha dijawab oleh Henri Poincare'.

Perubahan kestabilan atau perubahan yang dramatis dalam dinamika suatu sistem akibat berubahnya nilai parameter dalam sistem dinamakan bifurkasi. Bifurkasi tidak selalu terkait dengan kekompleks-an. Tetapi, ada beberapa jenis bifurkasi yang senantiasa terkait dengan bertambahnya kerumitan sistem yang pada akhirnya mengakibatkan chaos.

Salah satunya adalah apa yang dikenal dengan period-doubling. Yang terjadi pada bifurkasi ini adalah sebuah gerakan periodik yang mengalami bifurkasi dan melontarkan gerakan periodik lain yang periodenya dua kali periode semula. Kemudian masing-masing gerakan periodik itu mengalami bifurkasi lagi yang sama dan seterusnya.

Masing-masing gerakan periodik yang terlontar, biasanya tidak stabil. Akibatnya, pada suatu nilai parameter tertentu ada sangat banyak gerakan periodik yang tak stabil dalam sistem. Ketika ini terjadi, dinamika sistem sudah sangat kompleks dan chaos terjadi.

Definisi chaos

Jadi apakah chaos itu? Chaos bukan fraktal, tetapi chaotic attractor mungkin mempunyai struktur fraktal. Chaos juga bukan suatu gerakan perulangan murni. Chaos juga tidak berarti gerakan tak beraturan. Dalam gerakan chaotic, misalnya pada kupu-kupu Lorenz (Lorenz butterfly), gerakannya berulang, tetapi secara tidak beraturan.

Seperti melempar dadu 100 kali. Berulang? Jelas. Yang keluar bisa satu, dua, tiga, empat, lima, atau enam. Beraturan? tidak. Tetapi, sama sekali tidak beraturan juga tidak karena angka satu keluar kira-kira sebanyak 1/6 kali banyaknya pelemparan. Peristiwa ini dinamakan proses random (acak).

Melempar dadu mengandung unsur ketidakpastian (atau ke-random-an). Yang ingin saya katakan adalah dalam proses di mana tidak ada ketidakpastian pun, keluarannya bisa tidak terprediksi, yaitu jika sistemnya chaotic.

Sistem chaotic juga mempunyai properti khusus, yaitu bergantung secara sensitif terhadap kondisi awal. Kesalahan yang kecil dalam waktu singkat akan tersebar di seluruh sistem. Jadi, dua solusi yang berbeda hanya sedikit di awal akan berbeda sangat jauh setelah beberapa saat yang relatif singkat.

Jadi, apa itu chaos? Ternyata saya belum berani menjawab.

Sumber: Kompas (19 Juli 2003)